Стратегии

Прежде всего «Сигма» – это количественная модель, которая работает по строго заданному алгоритму. В стратегии не используется профессиональных суждений, субъективных мнений и т.п. Программа динамически отслеживает состав индекса Мос Биржи. В портфель могут попасть только акции из индекса. Это уже своего рода фильтр от мусорных бумаг. В начале каждой недели проводится математическая оптимизация структуры портфеля, в рамках которой алгоритм подбирает такие доли акций, при которых максимизируется общая ожидаемая доходность портфеля и при это м волатильность не превышает среднюю волатильность индекса за период с 1998 по 2016 гг. с определенным ограничением на эффективное количество бумаг. Для подобной оптимизации требуется оценить ряд параметров по каждой акции инвестиционной вселенной: ожидаемую доходность, собственную волатильность и корреляцию доходности с другими бумагами.

Для оценки доходности акций используется искусственный интеллект – рекуррентная нейронная сеть долгой краткосрочной памяти (LSTM). Это специальная архитектура нейросети, предназначенная для прогнозирования временных рядов, где важные события разделены временными лагами с неопределенной продолжительностью и границами. Нейросеть была обучена на истории всех акций индекса МосБиржи с 1998 по 2016 год включительно. Подробности о нейросети, особенностях ее обучения и т.п. я расскажу во второй половине статьи.

Волатильность и корреляции или, говоря проще, риск по акциям оценивается статистически по методологии компании RiskMetrics – одного из лидеров рынка риск-менеджмента.

Несмотря на то, что ядро стратегии представляет собой портфель акций, есть и спекулятивная составляющая – торговля фьючерсом на индекс МосБиржи. Гарантийное обеспечение берется под залог акций. Одна из задач фьючерса – это хеджирование в период рецессий и сильных коррекций, что особенно актуально сегодня, когда геополитика способна порождать огромную турбулентность на рынке. Именно за счет фьючерса стратегия способна зарабатывать даже на боковом или медвежьем рынке, что будет хорошо видно по результатам бэк-теста более чем за 20-летний период, который мы разберем далее.

В качестве бенчмарка использовался индекс полной доходности Мос Биржи, учитывающий дивидендную доходность акций. Тестирование на основе исторических данных охватывает период с 30.06.2003 по 30.11.2023. За данные годы рынок пережил самые разные фазы: уныние, эйфорию, апатию и т.д. Были и мировые кризисы с биржевой паникой, и затяжные боковики, и периоды супер бычьих настроений. Все это позволяет оценить поведение модели в самых разных условиях

Стоит отметить, что часть данных в этом периоде использовалась для обучения нейросети ответственной за прогнозирование доходности акций. Тестовая выборка с абсолютно новыми данными, которые нейросеть никогда не видела, начинается лишь с 30.10.2016. На графике (см. ниже) используется логарифмическая шкала из-за большого разрыва в доходности и длинного горизонта инвестирования. Все показатели посчитаны на основе месячных данных, а не дневных, т.е. показатель просадки, к примеру, указан по состоянию на конец каждого календарного месяца, а не на конец
каждого торгового дня.

Как видно, среднегодовая доходность стратегии составила 55.6%, что почти в 4 раза больше, чем у бенчмарка. Это невероятно впечатляющая цифра, но тут нужно сразу оговориться. Во-первых, здесь не учтены абсолютно никакие издержки: ни комиссии, ни проскальзывания, ни налоги, т.е. чистая доходность будет значительно ниже. Во-вторых, как было указано ранее, бэк-тест включает часть обучающей выборки для нейросети и на новых данных доходность может отличаться, хоть и тестовая выборка демонстрирует относительную стабильность результатов.

Волатильность стратегии по месячным данным получилась на 8% выше, чем у индекса, однако по дневным данным волатильность совершенно одинаковая и составляет около 30% в годовом выражении. При этом максимальная просадка более чем в два раза лучше, чем у рынка: 28,2% против 67,9%. По соотношению риск-доходность стратегия «Сигма» значительно превосходит бенчмарк.

Настало время рассмотреть самую интересную часть бэк-теста стратегии «Сигма»: годовые доходности в сравнении с индексом полной доходности Мос Биржи. На мой взгляд самое важное в бэк-тесте это не итоговая цифра среднегодовой доходности и всевозможные показатели риск-метрик, а именно равномерность генерации прибыли (хотя безусловно все эти показатели связаны). Итоговая доходность может быть очень высокой, но если она сгенерирована за счет небольшого количества очень удачных лет, то велика вероятность переобучения модели, т.е. подстройки (подгонки)параметров под уникальные условия этих лет, которые, вероятно, могут больше никогда не повториться. Поэтому очень важна способность модели демонстрировать результат в самые разные годы с разными условиями и в разные фазы рынка.

Настало время рассмотреть самую интересную часть бэк-теста стратегии «Сигма»: годовые доходности в сравнении с индексом полной доходности МосБиржи. На мой взгляд самое важное в бэк-тесте это не итоговая цифра среднегодовой доходности и всевозможные показатели риск-метрик, а именно равномерность генерации прибыли (хотя безусловно все эти показатели связаны). Итоговая доходность может быть очень высокой, но если она сгенерирована за счет небольшого количества очень удачных лет, то велика вероятность переобучения модели, т.е. подстройки (подгонки)
параметров под уникальные условия этих лет, которые, вероятно, могут больше никогда не повториться. Поэтому очень важна способность модели демонстрировать результат в самые разные годы с разными условиями и в разные фазы рынка.

Ниже представлена диаграмма с таблицей, где по годам приведены доходности «Сигмы» и бенчмарка. Напоминаю, что это цифры «брутто», т.е. до вычета комиссий, а также период до конца 2016 года использовался для обучения нейросети, которая прогнозирует доходности акций для оптимизационной модели. Реальная чистая доходность была бы ниже и все же за все 21 год у стратегии не было не просто ни одного убыточного года, не было ни одного года с гросс доходностью меньше
двухзначной. Даже в самые кризисные годы. При этом за все эти годы, начиная с 2003, стратегия проиграла рынку лишь один раз в 2021 году, когда ее доходность составила 16,2% против 21,8% у индекса. Это действительно великолепный результат.

Способность «Сигмы» демонстрировать результат в годы затяжного боковика (2011-2015), мировых кризисов (2008, 2020) и невероятной биржевой паники (2022) обусловлена спекулятивной частью с фьючерсом, о чем я уже упомянул ранее. Хеджирование с помощью индекса – это очень эффективный механизм, который, в частности, позволяет существенно снизить просадку стратегии. Именно о просадке пойдет речь далее. Ниже приведен соответствующий график в сравнении с индексом полной доходности МосБиржи.

Прежде всего напомню, что вообще собой представляет просадка. Это максимальный нереализованный убыток, который мог бы увидеть у себя потенциальный инвестор, если бы вошел в стратегию в самый неудачный момент – на пике кривой капитала. Наибольшая просадка обычно наблюдается в периоды кризисов и сильных коррекций.

Стратегия проседает ощутимо меньше рынка на протяжении всего бэк-теста. Это происходит по трем основным причинам. Во-первых, в портфель подбираются акции с наименьшей корреляцией в динамике доходностей. Главная задача оптимизации – максимизация ожидаемой доходности портфеля при ограничении волатильности. Волатильность контролируется как раз выбором бумаг, чьи доходности могут создавать портфельный эффект синергии – взаимопогашать колебания внутри портфеля, делая кривую капитала более плавной. Это основа портфельной теории. С фундаментальной
точки зрения существуют факторы, которые могут потенциально оказывать разнонаправленное влияние на некоторые акции, например цена на нефть может положительно влиять на выручку нефтедобывающих компаний и при этом негативно влиять на расходы транспортных компаний.

Во-вторых, в периоды особо крупных кризисов и биржевых паник, когда волатильность всего рынка зашкаливает, стратегия может держать существенную часть активов в кэше. Это происходит все по той же причине – ограничение волатильности при оптимизации. Инвестиционная вселенная стратегии помимо акций из индекса МосБиржи, также включает безрисковый актив – наличную валюту. У кэша нулевая ожидаемая доходность, нулевая волатильность и нулевая корреляция с другими активами. Именно два последних свойства заставляют «Сигму» включать кэш в портфель в периоды, когда нет ни одной комбинации акций в каких-либо долях, способных удовлетворить требование по ограничению волатильности. По бэк-тесту в наиболее волатильные периоды мирового финансового кризиса (2008) и специальной военной операции (2022) до 65% основного портфеля, не учитывая хедж, было в кэше.

Ну и в-третьих, главная причина того, что стратегия имеет меньшую просадку по сравнению с бенчмарком – хеджирование фьючерсом на индекс. Более подробно об этом будет позже. Здесь лишь скажу, что, когда прогнозируется падение рынка, «Сигма» открывает короткую позицию по индексу, создавая практически так называемую нейтрально-рыночную позицию по портфелю в целом.

На этом мы закончили разбирать результаты бэк-теста. Далее рассмотрим механизм работы алгоритма в деталях. Начать я бы хотел с сердца стратегии – нейронной сети ответственной за оценку доходности акций. Напомню, для средне-дисперсионной оптимизации требуется оценка ряда параметров по каждому финансовому активу, важнейшим из которых является ожидаемая доходность. Поэтому рассматриваемая нейросеть является ключевой частью стратегии и именно благодаря ей «Сигма» способна демонстрировать столь впечатляющие результаты.

Прежде всего, коротко расскажу, что вообще собой представляет нейронная сеть. В статистике есть такое понятие как регрессионный анализ – набор статистических методов исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную. Например, мы можем попробовать установить взаимосвязь между оценками в дипломе о высшем образовании и средней зарплатой на последующей работе. Здесь зарплата является зависимой переменной, а оценки – независимыми. Регрессионная модель в данном случае будет представлять собой такую математическую формулу, подставив оценки из диплома в которую, на выходе мы получим средний уровень оклада для конкретного человека. Простейшая форма регрессии: линейная. В данном случае мы просто складываем все оценки с некоторыми коэффициентами и получаем среднюю зарплату. Для нахождения данных коэффициентов нам нужно «обучить» нашу модель на большой выборке. Для этого требуется собрать статистику по тысячам людей: какие у них были оценки и какую зарплату в итоге они имели. Так вот, нейронная сеть это просто «регрессия на стероидах» – невероятно огромная математическая формула с миллионами внутренних параметров, которая принимает на вход значения независимых переменных и дает на выходе прогноз по значению зависимой переменной. Внутренние нелинейные связи между нейронами позволяют установить сложнейшую взаимосвязь между зависимой и независимыми переменными, поэтому нейросети относятся к методам искусственного интеллекта.

Прежде всего, коротко расскажу, что вообще собой представляет нейронная сеть. В статистике есть такое понятие как регрессионный анализ – набор статистических методов исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную. Например, мы можем попробовать установить взаимосвязь между оценками в дипломе о высшем образовании и средней зарплатой на последующей работе. Здесь зарплата является зависимой переменной, а оценки – независимыми. Регрессионная модель в данном случае будет представлять собой такую математическую формулу, подставив оценки из диплома в которую, на выходе мы получим средний уровень оклада для конкретного человека. Простейшая форма регрессии: линейная. В данном случае мы просто складываем все оценки с некоторыми коэффициентами и получаем среднюю зарплату. Для нахождения данных коэффициентов нам нужно «обучить» нашу модель на большой выборке. Для этого требуется собрать статистику по тысячам людей: какие у них были оценки и какую зарплату в итоге они имели. Так вот, нейронная сеть это просто «регрессия на стероидах» – невероятно огромная математическая формула с миллионами внутренних параметров, которая принимает на вход значения независимых переменных и дает на выходе прогноз по значению зависимой переменной. Внутренние нелинейные связи между нейронами позволяют установить сложнейшую взаимосвязь между зависимой и независимыми переменными, поэтому нейросети относятся к методам искусственного интеллекта.

Как уже было упомянуто ранее, в «Сигме» используется рекуррентная нейронная сеть долгой краткосрочной памяти (LSTM). Это особая разновидность архитектуры рекуррентных нейросетей, способная к обучению долговременным зависимостям. В качестве сырых входных данных используются 17 технических объемно-ценовых индикаторов, а также закодированные день недели и месяц, за последние 5 рабочих дней, т.е. нейросеть анализирует эти показатели в динамике. Эти данные стандартизируются, а также сокращается их размерность с помощью метода главных компонент (PCA). На выходе нейросеть дает прогноз доходности акции в последующие 5 торговых дней, таким образом горизонт инвестирования для модели – неделя. Для обучения использовалась выборка из более 130 тыс. паттернов по акциям из индекса МосБиржи с 1998 по 2016 гг.

Как уже было упомянуто ранее, в «Сигме» используется рекуррентная нейронная сеть долгой краткосрочной памяти (LSTM). Это особая разновидность архитектуры рекуррентных нейросетей, способная к обучению долговременным зависимостям. В качестве сырых входных данных используются 17 технических объемно-ценовых индикаторов, а также закодированные день недели и месяц, за последние 5 рабочих дней, т.е. нейросеть анализирует эти показатели в динамике. Эти данные стандартизируются, а также сокращается их размерность с помощью метода главных компонент (PCA). На выходе нейросеть дает прогноз доходности акции в последующие 5 торговых дней, таким образом горизонт инвестирования для модели – неделя. Для обучения использовалась выборка из более 130 тыс. паттернов по акциям из индекса МосБиржи с 1998 по 2016 гг.

Ниже приведена точечная диаграмма, которая показывает зависимость истинной доходности акции от предсказанной нейросетью на тестовой выборке. Тестовая выборка охватывает период с начала 2017 по конец 2023 года, т.е. эти данные нейросеть никогда не видела и на них не обучалась. Каждая точка показывает предсказанную доходность по оси абсцисс и истинную доходность по оси ординат. В идеале при 100%-й точности и нулевой ошибке прогноза все точки должны лежать на одной линии под углом 45 градусов при масштабе 1:1 (на графике масштаб совсем другой). Красной линией вместе с уравнением регрессии отмечена линия тренда облака точек. Именно эта линия отражает среднюю истинную доходность в зависимости от прогноза нейросети. Угол наклона этой линии (коэффициент регрессии при «x») и высота облака характеризуют качество нейросети – ее способность предсказывать доходность акций. Чем больше угол наклона отличается от 0 и чем меньше высота облака (среднеквадратическая ошибка), тем качественнее прогноз. Коэффициент 1,8735 показывает, что в среднем на 1% предсказанной доходности приходится 1,87% истиной доходности.

Ниже приведена точечная диаграмма, которая показывает зависимость истинной доходности акции от предсказанной нейросетью на тестовой выборке. Тестовая выборка охватывает период с начала 2017 по конец 2023 года, т.е. эти данные нейросеть никогда не видела и на них не обучалась. Каждая точка показывает предсказанную доходность по оси абсцисс и истинную доходность по оси ординат. В идеале при 100%-й точности и нулевой ошибке прогноза все точки должны лежать на одной линии под углом 45 градусов при масштабе 1:1 (на графике масштаб совсем другой). Красной линией вместе с уравнением регрессии отмечена линия тренда облака точек. Именно эта линия отражает среднюю истинную доходность в зависимости от прогноза нейросети. Угол наклона этой линии (коэффициент регрессии при «x») и высота облака характеризуют качество нейросети – ее способность предсказывать доходность акций. Чем больше угол наклона отличается от 0 и чем меньше высота облака (среднеквадратическая ошибка), тем качественнее прогноз. Коэффициент 1,8735 показывает, что в среднем на 1% предсказанной доходности приходится 1,87% истиной доходности.

Теперь рассмотрим оценку риска в стратегии. После оценки доходностей для оптимизации структуры портфеля требуется определить так называемую ковариационную матрицу доходностей. Для начала дам базовое пояснение что это такое.

В статистике есть понятие ковариации – меры совместной изменчивости двух случайных величин. Простыми словами, если большие значения одной переменной в основном соответствуют большим значениям другой переменной, и то же самое верно для меньших значений, то ковариация положительна. В таком случае переменные имеют тенденцию одинаковой направленности. При оценке риска переменными являются доходности акций. Именно Гарри Марковиц в 1952 году предложил оценивать риск акций с помощью ковариаций, показав, что, подбирая в портфель акции с наименьшей ковариацией, можно добиться существенного уменьшения волатильности портфеля. Это происходит за счет того, что колебания цен по разным активам взаимпогашают друг друга внутри портфеля. В идеальной ситуации падение цены одной акции компенсируется ростом по другой. Если при этом математическое ожидание по доходности двух акций положительно, то у нас будет равномерный рост портфеля.

Ковариационная матрица представляет собой квадратную симметричную матрицу, где на пересечении строк и столбцов указана ковариация доходности одной акции с другой. Диагональ такой матрицы – особый случай, так как она показывает ковариацию акции с собой же, что математически равно дисперсии (меры колебания доходности по отношению к среднему уровню). Таким образом, оценив эту матрицу, можно посчитать волатильность всего портфеля.

В статистике есть специальная формула для оценки ковариации, но она малопригодна для целей оценки риска акций прежде всего потому, что использует равные веса для каждого периода. Компания RiskMetrics заметила, что волатильность финансового рынка имеет свойство кластеризации и поэтому модифицировала эту формулу, заменив равномерное взвешивание на экспоненциальное. В данном случае более поздние доходности акций имеют больший вес, и оценка ковариации (а также дисперсии) более чутко реагирует на резкие изменения на рынке особенно в период коррекций и кризисов. В стратегии «Сигма» используется методология компании RiskMetrics при определении параметра сглаживания, окне усреднения и т.п.

График ниже показывает недельную волатильность портфеля акций «Сигмы» (без учета фьючерса) вместе с недельной волатильностью индекса МосБиржи. Напомню, при оптимизации накладывается ограничение на структуру портфеля, чтобы его волатильность не превышала среднюю волатильность индекса за период с 1998 по 2016 гг. Во-первых, отчетливо видно, что фактическая волатильность портфеля действительно колеблется около среднерыночной. Во-вторых, даже поточечное сравнение волатильностей показывает, что риск акций «Сигмы» в большинстве случаев ниже, чем у рынка в целом. В период повышенной турбулентности риск заметно ниже за счет включения безрискового актива (часть активов портфеля просто остается в кэше).

После того как все параметры (риск и доходность) по каждой акции определены, в «Сигме» проводится средне-дисперсионная оптимизация структуры портфеля. Разберем эту процедуру подробнее.

Я уже не раз писал про Гарри Марковица. Именно он разработал математический аппарат для оптимизации портфеля активов. Напомню основные положения. Если у нас есть оценка ожидаемой доходности по каждому активу, а также ковариации акций друг с другом, то с помощью специальных формул при заданной структуре активов мы можем оценить общую доходность и волатильность портфеля. Перебирая разные доли активов в портфеле, можно получить разные комбинации доходности и риска. Это называется областью допустимых решений. Однако очевидно, что не все решения являются оптимальными. Если при той же доходности мы можем получить портфель с меньшим риском, то такая структура активов будет более предпочтительной.

График на картинке к посту показывает возможные комбинации доходности и риска при разной структуре портфеля. Каждая точка показывает параметры конкретного портфеля с заданной структурой активов. Если рассмотреть какой-то конкретный уровень риска, то можно заметить, что самым оптимальным решением будет наивысшая точка в этом облаке, так как такой портфель дает максимально возможную доходность при заданном уровне риска. Вся совокупность таких оптимальных точек для каждого уровня риска называется границей эффективности. В рамках оптимизации мы можем максимизировать доходность при заданном уровне риска или минимизировать риск при заданном уровне доходности.

Поиск оптимального решения относится к задачам линейного программирования. В рамках стратегии «Сигма» целевой функцией выступает общая доходность портфеля. Пытаясь максимизировать значение целевой функции, целенаправленно перебирая разные доли активов, алгоритм накладывает дополнительно два ограничения на оптимальную структуру (помимо того, что сумма всех долей должна быть равна единице). Важнейшее из них – волатильность должна быть на уровне среднерыночной (за период с 1998 по 2016 гг.). Поэтому на приведенном графике (см. ниже) процесс оптимизации в «Сигме» выглядит как движение от более низких точек к наивысшей на конкретном уровне риска – средней волатильности индекса МосБиржи.

Второе ограничение на оптимальный портфель в «Сигме» – это эффективное количество бумаг. Данный показатель характеризует степень концентрации портфеля с учетом стоимости позиций. Номинально бумаг может быть несколько десятков, но если при этом одна из них занимает более 90% от стоимости всего портфеля, то эффективное количество стремится к единице. Ограничение на данный показатель очень хорошо дополняет модель Марковица, так как изначально предложенная средне-дисперсионная оптимизация печально известна своей скудной диверсификацией. Эффективное количество должно быть не менее 15, это означает, что номинально бумаг может быть от 15 и больше. При этом, чем число ближе к 15, тем меньше степень свободы варьирования доли бумаг, вплоть до равных весов, если модель выбирает ровно 15 активов. Поэтому в среднем модель отбирает около 20 позиций.

В заключительной части рассмотрим спекулятивную подсистему ответственную за леверидж и хеджирование. Ранее я уже не раз упоминал про фьючерс на индекс МосБиржи в используемых инструментах. Настало время поподробнее рассказать про этот аспект стратегии.

Основа портфеля – это прежде всего акции. «Сигма» держит почти всегда портфель загруженным на 100%. В редких случаях, когда наблюдается экстремальная волатильность, загрузка может быть неполной. Поэтому при небольших коррекциях модель будет стараться включать бумаги с наименьшей волатильностью, но все же при полной загрузке. Подобный подход, к сожалению, не очень эффективно уберегает от резких просадок, так как в период коррекций корреляции доходностей у акций сильно подскакивают, снижая выгоду от портфельной диверсификации. На российском рынке геополитический фактор еще больше усугубляет ситуацию, когда любая новость, может порождать внезапную турбулентность. В связи с этим было принято решение внедрить дополнительную систему хеджирования, основанную на индексе.

Также фьючерс дает возможность эффективно использовать леверидж в периоды, когда не прогнозируется падение рынка. Таким образом, лонг по фьючерсу позволяет расти с плечом на бычьем рынке, а шорт по фьючерсу – сберечь накопленную доходность на медвежьем рынке.

В основе индексного алгоритма используется комплексный технический индикатор,
оптимизированный с помощью метода дифференциальной эволюции. Это метод многомерной математической оптимизации, относящийся к классу стохастических алгоритмов, позволяющий найти оптимальный набор параметров из огромного множества. Индикатор анализирует ежедневный ценовой индекс МосБиржи и относится к осцилляторному типу, то есть прогнозирует точки разворота. Для индекса это достаточно эффективный подход, так как в отличие от отдельных акций, котировки индекса более инертны и больше подвержены импульсу. Сделки с фьючерсами могут заключаться ежедневно на открытии вечерней сессии.

Фьючерсная стратегия генерирует лишь два типа сигнала: будет падение рынка или не будет. Если падение не прогнозируется, то с помощью фьючерса формируется леверидж в размере 50% от собственного капитала, то есть общая экспозиция на рынок составляет 150% в нормальных условиях – 100% лонг по акциям + 50% лонг по индексу. Если же прогнозируется падение, то открывается короткая позиция по фьючерсу на величину всего портфеля, что делает его нейтрально-рыночным (общая экспозиция равна 0) – 100% лонг по акциям + 100% шорт по индексу. Финансовый результат по такому портфелю равен спреду доходностей между акциями и индексом. В теории на падающем рынке «Сигма» может приносить доход за счет того, что индекс падает глубже, чем основной портфель акций, однако такой цели не ставится. Главная задача при хеджировании – сохранение накопленной доходности, поэтому в стратегии и не используется непокрытых шортов.

График ниже демонстрирует годовые доходности фьючерсной стратегии без учета портфеля акций «Сигмы», то есть чисто спекулятивная торговля индексом (экспозиция на акции заменена экспозицией на индекс), в сравнении с самим индексом. В бэк-тесте для удобства используются цены именно индекса, а не фьючерса. Если сигнал лонг, то экспозиция 150% на индекс, если сигнал шорт, то экспозиция 0% на индекс. Как видно, фьючерсная стратегия значительно превосходит бенчмарк по доходности практически во все годы, проиграв ему лишь в трех годах из двадцати одного. Это при схожей волатильности и меньших просадках. Несмотря на большое количество ложных сигналов на хедж (лишь 194 хеджирующих сделки закрылись с прибылью из 524), огромное превосходство стратегии по доходности обусловлено более высокой средней прибылью успешных сделок (2,81% в среднем на одну прибыльную сделку против -1,22% в среднем на одну убыточную).